Per quanto cozzi terribilmente con la matematica, fevo dire che questo è uno degli articoli che più approvo e mi intimorisce. Nell'ambito delle osservazioni oggettive eccelle superioramente rispetto al resto dei primi centiania di articoli, ed il contenuto è stato espresso in maniera positiva.
+1
Rivalutazione sulla base della spiegazione di QC.
-1
- TradeHumor
Premessa: Non esiste un "modo giusto" di valutare un'opera scritta, sia essa un articolo SCP, un articolo di giornale, un libro, ecc. E non c'è niente di sbagliato nel giudicare positivamente o negativamente "a sentimento" (qualunque cosa significhi).
Esistono, però, due tipi di critiche: le critiche oggettive e le critiche soggettive. Le critiche oggettive sono basate su questioni che non dipendono dal soggetto criticante: un errore di grammatica (sintattico o morfologico), un pezzo di codice Wikidot errato, … , oppure un errore di natura scientifica. Mi soffermerò su questi.
Un articolo SCP è concettualmente divisibile in due parti: una parte "anomala", che descrive un fenomeno che non esiste nella nostra realtà, ed una parte "ordinaria", dove vengono descritte azioni, esperimenti, eventi che potrebbero essere invece replicati.
Per chiarire le idee, chiamiamo errore scientifico di Tipo 1 (che abbrevierò in "errori di Tipo 1", dato che "scientifico" è sottinteso dal contesto) un errore sulla parte ordinaria. Ad esempio, dire: "Mentre si preparava la colazione, Marco rovesciò il bicchiere d'acqua bollente sulla mano, che quindi si raffreddò, come accade normalmente" è evidentemente sbagliato. Per essere più precisi, avrebbe senso se ci fosse qualche fenomeno anomalo coinvolto, ma, una volta chiarito dal contesto (omesso nell'esempio, ma sottinteso da "normalmente") che si sta narrando di eventi che rispettano le leggi della fisica e non di cose fantasy, il discorso è chiuso. In poche parole: se gli eventi narrati sono ordinari, allora non rispettare le leggi della natura è un errore di Tipo 1.
Qualsiasi articolo SCP ben scritto non presenta errori di Tipo 1. Non commettere errori di Tipo 1 è più difficile per articoli "non-fiction", che devono soppesare molto attentamente le parole usate. Ed è un'attività molto difficile per il cervello umano quando si tenta di spiegare fenomeni fisici. È sufficiente mostrare un esperimento poco poco fuori dall'ordinario, semplicemente qualcosa che non succede tutti i giorni, e chiedere di fornire una spiegazione scientifica: qui spesso casca l'asino. Il classico "uomo della strada" tipicamente inventa spiegazioni che poco hanno a che spartire con la scienza. Dovrebbe anche farci riflettere il fatto che spesso anche chi crede di avere basi scientifiche non è immune agli errori di Tipo 1, perfino per le cose più semplici. Gli errori di Tipo 1 sono il numero maggiore di errori che noi commettiamo, spesso senza rendercene conto. Esempi sulle "misconceptions" che noi tutti abbiamo abbondano (cercateli in rete, sono facilmente reperibili quelli riguardo Temperatura/Calore e sulla Meccanica Classica, cercate "falling slinky") e riguardano tutti i settori della scienza: fisica, chimica, biologia, eccetera.
Gli errori di Tipo 2 sono un po' diversi: riguardano le scienze che non sono "sperimentali", bensì scienze "astratte", in particolare la Matematica (la "scienza esatta" per eccellenza). La prima differenza è la seguente: un errore di Tipo 1 è tale nel nostro universo, con quelle leggi della natura. Ma nulla vieta che, in un altro universo con differenti leggi della fisica, entità particolari come SCP-017 possano esistere. In altre parole, almeno in linea puramente teorica, SCP-017 potrebbe esistere (in un universo parallelo e blablabla).
La Matematica (scritta con la "m" maiuscola, cioè non le mezze-cose che insegnano al liceo) invece non è così. 2 +2 fa 4 in tutti gli universi possibili e immaginabili, inclusi quelli che fisicamente non esistono. A questo punto, uno potrebbe chiedersi perché: perché non è possibile "piegare", anche solo con l'immaginazione, le "leggi della matematica" così come, piegando le leggi della fisica, è possibile pensare un altro universo parallelo? La risposta esatta a questa domanda è lunga e contorta. La risposta breve ed imprecisa è che le "leggi della matematica" non esistono, quindi non c'è niente da piegare (nota: 2+2=4 non è una "legge").
Si può però tentare un approccio semplificatissimo limitandosi, anziché a considerare tutta la Matematica, solo alla cosiddetta "Logica Matematica" e, scendendo ancora di livello, solo al caso più semplice possibile: la "logica binaria" (0/1), la cui "algebra" si chiama Algebra Booleana. L'algebra booleana è semplicissima, quindi evito di spiegarvela: se volete, cercate da soli gli operatori AND, OR, NOT, XOR e come funzionano (tabelle di verità). Vi lascio solo un esempio. Principio di non contraddizione: A + NOT(A) = 1, dove quel + è l'operatore OR (anche chiamato somma logica, l'ho colorato di blu così non lo confondete con l'addizione ordinaria).
SCP-033 è squallido perché parte, come idea di base, da una cosa che non può essere vera in nessun "universo possibile". In poche parole, una fallacia logica. E la bella scrittura non basta a salvarlo… e tanto bella non è. Tralascio il sistema metrico "imperiale" anziché il Sistema Internazionale perché, vabbè, motivi storici.
Innanzitutto, come tutte le cose che cozzano con la logica, l'idea è auto-contraddittoria. Se Theta Prime è un numero intero, sarebbe stato scoperto fin dall'antichità, mettendo una pietra alla volta, una accanto all'altra. Partendo da "1" e facendo sempre "+1", non ti perdi nessun numero intero. Perché? Perché questo è uno dei metodi con cui si possono definire i numeri interi. Poi, qualsiasi algoritmo che usi anche solo tangenzialmente i numeri interi avrebbe dato un risultato palesemente errato, dato che, se "4" (per esempio) è l'intero mancante, allora "5-1" è fissato a "3" e "3+1" è fissato a "5". Peccato che, così facendo, hai appena usato il simbolo "5" come placeholder del valore numerico "4". Infatti: 3+1=5 (cioè 4), da cui: 5/2 = (3+1)/2 = (2+2)/2 = 2. Cos'è questa? Una banale ridefinizione simbolica: il simbolo 5 si comporta numericamente come 4 in tutte le operazioni. Quindi non è che "4" è "mancante": la mancanza di un simbolo e la mancanza del comportamento numerico sono due cose ben diverse. Che "manchi" il simbolo non frega a nessuno: esistono infiniti simboli… e non è che li usiamo tutti per i numeri interi! Ma il "comportamento numerico" non lo puoi perdere, a meno di commettere errori davvero palesi (essendo Theta Prime intero).
Ma questo non è l'unico scivolone oggettivo dell'articolo. La frase iniziale è:
SCP-033 should be inscribed
e questo non va bene. Perché "should" ? (1) Non viene detto cosa accade se non lo si fa; (2) qualunque cosa sia, Theta Prima non è stato trascritto se non in tempi recenti, quindi dobbiamo assumere che non trascriverlo sia irrilevante? (3) i computer funzionano senza Theta Prime, come fanno esattamente? Magia?
La carrellata continua:
in precisely 2560 seconds
precisely, davvero? E come faccio a misurare esattamente 2560 secondi, di grazia? Mai sentito parlare di errore di misura? Specie considerando che ogni 10 secondi, ne perdo uno (cioè Theta Prime) e quindi "10" dovrei contarlo come "9".
mathematical predictability
Altro mito da sfatare. L'essere prevedibile non è una caratterista "matematica". La Teoria della Probabilità ti dice "ciao". Così come la Chaos Theory, l'effetto farfalla, il regime turbolento… e mille altre cose, strettamente matematiche, che tutto sono fuorché "predictable".
the irregularity of the crafting process due to human error serves to eliminate any traces of regularity that would be found in a machine-created product
Anche una macchina può essere irregolare. Perfino più dell'uomo. Guarda un oggetto al microscopio se non ci credi.
the irregular borders seem to confuse it somehow
Se può essere "confuso", ciò implicherebbe che SCP-033 è (almeno lievemente) senziente. Quindi è un numero intero "mancante" un pizzico senziente. Hmm.
I think it tries integrating itself into our system and our system can't hold it
Per il solo fatto che esista come entità teorica (ovviamente no, abbiamo già detto che è logicamente impossibile, ma vabbè) significa che è già integrato nel sistema delle entità teoriche. Quello che sembra problematico è la sua esistenza nel mondo fisico. Ora confrontiamo queste due opzioni:
Opzione A (articolo originale): Theta Prime è un numero intero "mancante", (un pizzico) senziente, che non può esistere a lungo nel mondo fisico.
Opzione B (inventata da me sul momento): Theta Prime è una entità astratta, (un pizzico) senziente, che nel momento in cui viene provata ad essere trascritta in forma simbolica nel mondo reale, non può esistere a lungo (e succedono tutte le anomalie descritte nell'articolo).
Opzione B è praticamente equivalente ad opzione A, ma evita gli scivoloni logico-matematici, pur lasciando intatto il "succo" dell'anomalia descritta.
-1
Ciao! Scusa se rispondo al tuo commento dopo mesi, ma ritengo che questo articolo abbia subito una ricezione negativa a seguito della tua spiegazione che, per quanto puntuale per l'aspetto riguardante i concetti, è leggermente fuori fuoco rispetto ai suoi intenti. Con ordine:
Quando affermi che le leggi della matematica sono identiche in tutti gli universi possibili attribuendo questo concetto a quello della Matematica con la "M" maiuscola, le stai forzatamente sovrapponendo la concezione formalista della matematica come se fosse l'unica possibile. C'è invece il contraltare intuizionista, che rende la faccenda un po' meno pulita. Per Brouwer le serie numeriche non funzionano semplicemente con l'aggiunta di "+1", da cui la problematicità della definizione di numero; similmente, non vale il principio del terzo escluso, per quanto valga quello di non contraddizione. Non sono particolarmente ferrato in matematica, quindi non approfondirò oltre l'intuizionismo brouweriano in questa sede; posso però tranquillamente parlare dell'intuizionismo kantiano. A questo punto la questione non è strettamente matematica, ma metafisica. Lo richiede l'impostazione stessa di quello che hai scritto: stai parlando di leggi di ogni universo possibile che non sono leggi fisiche. Dal momento che stiamo parlando di leggi dell'universo, non sono nemmeno esclusivamente leggi logiche perché non riguardano il modo in cui stai descrivendo in quanto soggetto l'universo, ma come l'universo è fatto. Sono, appunto, leggi metafisiche, ossia condizioni di possibilità dell'essere in sé. E qui credo sia la fallacia del tuo discorso: che non siano possibili universi metafisicamente diversi dal nostro (sempre che il nostro sia metafisicamente impostato secondo la logica, Kant non sarebbe d'accordo) è un postulato che non si ha alcuna ragione di sostenere (a meno che questa ragione sia mostrata). Appunto, è già difficile dimostrare che il nostro universo abbia una metafisica che coincide con la nostra struttura soggettivo-formale senza saltare ingiustificatamente dalla datità all'essere; che in metafisica si possa parlare con assoluta certezza di regolarità multiversale è tutto da dimostrare. Che si debba fare ciò in un articolo di fantascienza è sinceramente dubbio.
Parli inoltre di "immaginabilità" di leggi matematiche diverse dalle nostre. Che esse non siano immaginabili è vero; ciò non include necessariamente che siano nonsensi. Fenomenologicamente, non è possibile riempire immaginativamente un'espressione come "il cerchio quadrato" perché, di fatto, non è presentabile un cerchio che sia quadrato; ma quest'espressione è comprensibile perché, analiticamente, ha un senso. Che questo senso sia contraddittorio non è in questo caso una questione analitica, ma puramente materiale: analiticamente la proposizione è corretta, quindi non c'è niente di sbagliato nell'esprimerla.
Non capisco inoltre per quale motivo un'anomalia che si basa sulla contraddizione debba essere necessariamente insensata. Trovo invece che, buona parte degli SCP di EN (ed è il motivo per cui ho sempre trovato la Fondazione originale molto interessante) si basino su violazioni dei principi ontologici basilari. La cosa che rende la Fondazione un sottogenere di fantascienza originale è proprio il fatto che essa non si limita alle scienza "dure", ma faccia speculazione anche sulle impossibilità logico-ontologiche, una cosa che nella sci-fi si vede molto di rado. Ed è uno dei legami tra la fondazione e le sue origini lovecraftiane: la cosmic horror story si basa frequentemente su entità impossibili, su geometrie non-euclidee (roba che all'epoca era assolutamente inconcepibile, una vera e propria violazione della possibilità di esistere in uno spazio materiale) e sulla blue and orange morality. Che una cosa sia e non sia insieme: ecco secondo me la natura del sense of wonder di parecchi degli SCP originali. La scientificità è richiesta nell'esposizione. Quest'articolo è mancante da questo punto di vista, si sarebbe potuto esprimere meglio il concetto (cosa succede all'insieme dei numeri naturali nel momento in cui si scopre che non sono semplicemente sequenze di aggiunta di unità? su questo avrebbe potuto lavorare l'autore per migliorare quello che ha scritto), ma il problema non è strutturale perché, in astratto, è possibile pensare ad un'anomalia logica. Non è possibile immaginarla, come sopra, e proprio per questo possiamo rimanere a bocca aperta leggendone: perché il nostro pensiero capisce che deve operare in qualche modo, ma non sa come farlo.
Un ultimo appunto: "i computer funzionano senza Theta Prime, come fanno esattamente? Magia?"
Questo è un approccio molto alla Dawkins alla verità scientifica: le cose funzionano, quindi è tutto vero. Di fatto, che le cose funzionino dimostra veramente poco. Non mi piace riferirmi a Popper, ma è il riferimento più semplice per dimostrare quanto sia mancante questa affermazione. Per metterla in termini molto vaghi, il fatto che la tecnologia funzioni significa soltanto che abbiamo fatto una specifica domanda alla natura pretendendo un certo tipo di risposta. Abbiamo creato un sistema di feedback circolare per cui, in un sistema da noi stabilito, le cose funzionano secondo quanto da noi stabilito. Se il funzionamento della tecnologia fosse sufficiente a spiegare la verità scientifica, non ci sarebbe demarcazione, non ci sarebbero mutamenti paradigmatici, non si potrebbe parlare di falsificazione e non avrebbero senso le dispute accademiche. In altre parole, sarebbe soltanto un lavoro cumulativo: un continuo ricercare secondo gli stessi principi finché non si ottiene tutto quello che è disponibile.
Detto questo, cerco di risollevare le sorti di questo articolo bistrattato con un +1.
Avevo scritto una risposta completa ai punti da te sollevati, poi però è arrivato Wikidot ed ha deciso diversamente (vabbè, scemo io che mi dimentico sempre di fare Ctrl+A e Ctrl+C).
Rispondo quindi solo ad una piccola parte delle osservazioni di Ernesto Levy. Sono tutte osservazioni, ci tengo a sottolinearlo, interessanti, che meriterebbero risposte molto più approfondite di quelle che ho qui scritto. E quelle che ho scritto sono già dei Wall of Text, nonostante i miei sforzi di essere il più conciso possibile.
Quando affermi che le leggi della matematica sono identiche in tutti gli universi possibili attribuendo questo concetto a quello della Matematica con la "M" maiuscola, le stai forzatamente sovrapponendo la concezione formalista della matematica come se fosse l'unica possibile
In realtà, no, ma grazie per questa osservazione: trovo che sia un fraintendimento molto comune.
A questo punto la questione non è strettamente matematica, ma metafisica.
La Matematica (con la "M") include anche quella che alcuni chiamano "metafisica", seppur trattata con il linguaggio tecnico della Matematica anziché con i linguaggi naturali.
Parli inoltre di "immaginabilità" di leggi matematiche diverse dalle nostre. Che esse non siano immaginabili è vero; ciò non include necessariamente che siano nonsensi
In verità, come ho scritto sopra, non esistono "leggi matematiche".
Fenomenologicamente, non è possibile riempire immaginativamente un'espressione come "il cerchio quadrato" perché, di fatto, non è presentabile un cerchio che sia quadrato
Non è una questione di fenomenologia: il problema non è se sia o meno presentabile. In Matematica, si studiano quotidianamente oggetti privi di grafico. Un esempio su tutti: un ipercubo quadridimensionale (in 4 dimensioni spaziali), ovvero il tesseract, non è graficamente rappresentabile in 3D. Tuttavia, possiamo rappresentare la sua "ombra" (nel senso matematico del termine, cioè proiezione).
Una spiegazione decisamente più bella si trova in quest'ottimo video di Carl Sagan: Link.
Nulla ti vieta, ovviamente, di "barare". Tu puoi sempre disegnare uno sgorbio qualsiasi e dire "supponiamo che questo sia un cerchio quadrato". O un tesseract. O una ipersfera in 100D. Che è poi quello che si fa quotidianamente quando si spiegano questi concetti. È una semplificazione, ovviamente, non è una "vera" rappresentazione grafica dell'oggetto, parlando in senso stretto. Ma ci si accontenta.
Il punto cruciale è che questi oggetti (il tesseract, l'ipersfera in 100D, eccetera) hanno una descrizione rigorosa, una rappresentazione esatta nel linguaggio tecnico della Matematica.
Piccola parentesi: ciò è vero anche quando si disegna un quadrato alla lavagna. È un'approssimazione, in quanto è praticamente impossibile che i lati abbiano esattamente la stessa lunghezza e che i quattro angoli siano esattamente 90°. Ma, anche qui, ci si accontenta. Da cui la battuta di un mio amico carissimo, mio compagno di università, dopo aver disegnato un quadrato alla lavagna. Il prof lo riprese dicendo: "non è un quadrato" e ne disegnò uno a sua volta. Al ché, il mio amico risposte al prof: "il mio è più quadrato del tuo".
ma quest'espressione è comprensibile perché, analiticamente, ha un senso.
Ciò non è scontato.
Che questo senso sia contraddittorio non è in questo caso una questione analitica, ma puramente materiale: analiticamente la proposizione è corretta, quindi non c'è niente di sbagliato nell'esprimerla.
Giusto un piccolo chiarimento sulla terminologia, dove mi rifaccio a nozioni di Logica Matematica, essendo più rigorose, ma che sono poi anche utili quando bisogna discutere su queste tematiche. "il cerchio quadrato" non è una proposizione, bensì una stringa (sequenza di simboli). Le proposizioni sono, invece, un tipo molto particolare di stringhe.
Dovresti chiarire cosa intendi esattamente con "analiticamente la proposizione è corretta". In Logica Matematica, la cosa è molto più ramificata.
La scientificità è richiesta nell'esposizione. Quest'articolo è mancante da questo punto di vista, si sarebbe potuto esprimere meglio il concetto
Esattamente, l'esecuzione è il vero nodo dolente. L'articolo è proprio scadente da questo punto di vista. Difficilmente supererebbe un ciclo di revisione, con gli standard odierni. Come ho già scritto altrove, anche l'idea migliore del mondo può essere rovinata da una cattiva esecuzione. Ed SCP-033 non è l'idea migliore del mondo.
Questo è un approccio molto alla Dawkins alla verità scientifica: le cose funzionano, quindi è tutto vero. Di fatto, che le cose funzionino dimostra veramente poco.
In realtà, il fatto che le cose funzionino dimostra molto, ma non "è tutto vero" (che non è nemmeno un'affermazione scientifica). Ad ogni modo, Dawkins è un "personaggione" alquanto noto. Non sono un suo fan e, in tutta onestà, preferisco Carl Sagan.
Se il funzionamento della tecnologia fosse sufficiente a spiegare la verità scientifica, non ci sarebbe demarcazione, non ci sarebbero mutamenti paradigmatici, non si potrebbe parlare di falsificazione e non avrebbero senso le dispute accademiche.
Infatti, le dispute accademiche, che ho vissuto (mio malgrado) per circa 3 anni della mia vita (in cui ho fatto ricerca scientifica al livello accademico), non hanno senso :)
In altre parole, sarebbe soltanto un lavoro cumulativo: un continuo ricercare secondo gli stessi principi finché non si ottiene tutto quello che è disponibile.
Non proprio, ma in realtà non sei poi così lontano. Da un lato, il lavoro è cumulativo, ma è anche ripetitivo (fino alla noia mortale), con fasi iterative alternate a fasi non-lineari dove succede di tutto e di più; ma, soprattutto, è self-correcting.
Per fare un esempio, ti racconto una favoletta.
Immagina di voler misurare la lunghezza di un carciofo. Se hai solo il tuo corpo come strumento di misura, commetterai un certo errore. Poi arriva tuo cuggino che ti presta un righello: misuri il carciofo con il righello, sperando quindi in un errore minore. In verità, quel righello è una m*rda (dopotutto, cosa ti aspettavi da tuo cuggino?), quindi hai solo perso tempo, in quanto l'errore è mostruosamente alto. Ma almeno te ne sei ravveduto ed hai imparato a non fidarti così ciecamente dei cuggini.
Un tuo amico (uno di quelli veri) ti passa un misuratore laser e con quello riesci a fare una misura eccellente, l'errore è dell'ordine dei millimetri. Un risultato davvero fantastico (chi trova un amico, trova un tesoro). Ma non bisogna adagiarsi sugli allori: a te serve un risultato molto, molto più preciso.
Lì allora parte una collaborazione scientifica internazionale, con più di diecimila persone coinvolte (oltre 100 nazionalità diverse), del costo di decine di miliardi di euro, per costruire un misuratore potentissimo, scavando circa 27 km di tunnel sottoterra. Molti l'esaltano come "la più grande macchina mai costruita dall'uomo", alcuni lo chiamano Large Hadron Collider (LHC). E, quando questa meravigliosa macchina viene messa in funzione, effettua una delle misurazioni più precise mai effettuate nella storia della razza umana.
Dopo l'annuncio, partono premi Nobel e grandi feste. I classici giornalisti alla ricerca delle news all'ultimo grido e del sensazionalismo a tutti i costi parlano di scoperta della "particella di Dio". Mah, ma che ne capiranno questi tizi di scienza, poi, è tutta un'altra storia, manco sapevano del carciofo.
Mentre ancora si fa festa e c'è gran chiasso, tu, in silenzio, guardi i risultati: l'errore c'è ancora. Molto piccolo, ma c'è. Non è zero. Non sei soddisfatto. E continuerai ad essere insoddisfatto fino a quando non arriverai in fondo a questa storia.
Ma tu sei una persona umile, modesta: sai che la verità era solo che volevi misurare il tuo carciofo. Mentre pensi a come chiedere altri 20 miliardi di euro per costruire una macchina migliore, più potente perfino dell'LHC, guardi il tuo carciofo. Mentre il resto del mondo pensa chissà quali idiozie, tu, che conosci a fondo la questione, puoi toccare il tuo carciofo con mano, e te lo mangi pure.
Ovviamente, fa schifo, quindi lo sputi. Ma, in tutto ciò, tu hai fatto qualcosa che nessuno ha mai fatto prima. E chi verrà dopo di te dovrà nuovamente arrovellarsi la testa su come misurare quel maledetto carciofo, in modo più preciso.
Questa esperienza, in breve, ovvero l'arte di misurare carciofi in modo progressivamente più preciso, seppur in modo "non lineare" (cioè con qualche intoppo, omessi per brevità di narrazione, e qualche cuggino di troppo), noi la chiamiamo scienza.
EDIT: Ho grossomodo riscritto il mio post, precedentemente "killed by Wikidot :(". Non ho commentato ogni singolo punto sollevato da Ernesto Levy, ma esclusivamente alcuni punti salienti del suo discorso.
In realtà, no, ma grazie per questa osservazione: trovo che sia un fraintendimento molto comune.
Questa non è una risposta. Una risposta sarebbe mostrarmi una prova inequivocabile di un'affermazione come "le leggi matematiche valgono in tutti gli universi possibili". Indizio: si basa su un altro fraintendimento molto comune, che è quello di sovrapporre possibile e immaginabile.
La Matematica (con la "M") include anche quella che alcuni chiamano "metafisica", seppur trattata con il linguaggio tecnico della Matematica anziché con i linguaggi naturali.
Nope, questo è quello che si definisce un "fraintendimento molto comune": che la matematica abbia inglobato la metafisica sostituendo il suo ruolo di scienza prima con una più rigorosa e più esatta. In realtà, qualsiasi definizione matematica presuppone un mindset metafisico che la precede.
In verità, come ho scritto sopra, non esistono "leggi matematiche".
Lo so molto bene e, appunto per questo, ho l'impressione che tu stia sfruttando di proposito una vaghezza che fa comodo alla definizione. "Non esistono leggi matematiche" può implicare una gran quantità di cose, sta a te specificare quello che intendi.
Tuttavia, possiamo rappresentare la sua "ombra" (nel senso matematico del termine, cioè proiezione).
Ossia lo stai presentando. Che tu non possa presentarlo nella sua interezza non implica che questa rappresentazione non sia una presentazione immaginativa.
Il punto cruciale è che questi oggetti (il tesseract, l'ipersfera in 100D, eccetera) hanno una descrizione rigorosa, una rappresentazione esatta nel linguaggio tecnico della Matematica.
Come spieghi tu poco oltre, questo è valido per ogni oggetto. Vale, in realtà, anche per ogni oggetto naturale passibile di percezione. Niente è mai dato nella sua esattezza, ma tutto è rappresentabile linguisticamente con esattezza. Io non ho mai parlato di riempimento immaginativo "perfetto", considerato che è fenomenologicamente impossibile. Ciò non ha alcun effetto sul mio discorso.
Ciò non è scontato.
Nel mio utilizzo del linguaggio, lo è. Se non lo è nel tuo devi specificare come.
Giusto un piccolo chiarimento sulla terminologia, dove mi rifaccio a nozioni di Logica Matematica, essendo più rigorose, ma che sono poi anche utili quando bisogna discutere su queste tematiche. "il cerchio quadrato" non è una proposizione, bensì una stringa (sequenza di simboli). Le proposizioni sono, invece, un tipo molto particolare di stringhe.
Again, non facciamone una questione di terminologia perché, provenendo da ambiti diversi, necessariamente utilizziamo stili linguistici diversi. Stare a specificare "nella mia disciplina si dice così" non aggiunge niente alla conversazione, se non altro fumo
Penso che questa sia l'unica parte su cui siamo relativamente d'accordo. Non capisco come la cattiva scrittura implichi necessariamente l'insensatezza dell'idea, però.
In realtà, il fatto che le cose funzionino dimostra molto, ma non "è tutto vero" (che non è nemmeno un'affermazione scientifica)
Dimostra il giusto, ma non è sufficiente a dire: "I computer funzionano, quindi il nostro sistema di sequenze numeriche è l'unico possibile". Che è quello che fa Dawkins (e infatti Dawkins è un pessimo scienziato).
Infatti, le dispute accademiche, che ho vissuto (mio malgrado) per circa 3 anni della mia vita (in cui ho fatto ricerca scientifica al livello accademico), non hanno senso :)
Non ho motivo di non crederti, ma tu non sei l'accademia in generale e il fatto che ti sia trovato in dispute prive di valore vuol dire solo che sei stato sfortunato. Non serve fare grandi ipotesi per capire che cosa intendessi dire: la scienza non è sempre stata uguale e non è andata vanti aggiungendo pezzi a un sistema di base già compiuto.
Non proprio, ma in realtà non sei poi così lontano. Da un lato, il lavoro è cumulativo, ma è anche ripetitivo (fino alla noia mortale), con fasi iterative alternate a fasi non-lineari dove succede di tutto e di più; ma, soprattutto, è self-correcting.
Sì ma questo è il lavoro dentro un sistema scientifico. I sistemi scientifici sono, nel corso della storia, diversi e spesso incompatibili. Come ho scritto su Discord, quella di Aristotele non era meno scienza di quella attuale solo perché si è rivelata falsa. Il suo lavoro era altrettanto scientifico, ma applicava un metodo diverso. Ponendo domande diverse otteneva risposte diverse. Il fatto che la nostra scienza ci permetta di costruire i computer e la sua no non implica necessariamente che essa sia più "vera", ma semplicemente che è più conforme ai nostri bisogni attuali. C'è una differenza sottile tra verità e funzionalità che, spesso, allo scienziato sfugge.
Questa esperienza, in breve, ovvero l'arte di misurare carciofi in modo progressivamente più preciso, seppur in modo "non lineare" (cioè con qualche intoppo, omessi per brevità di narrazione, e qualche cuggino di troppo), noi la chiamiamo scienza.
Infatti: siamo noi a chiamare scienza l'arte di misurare carciofi in modo progressivamente più preciso. Il progresso teleologico nella scienza ha senso solo fin quando siamo convinti che sia il carciofo la cosa da misurare. Domani potremmo osservare che invece la cosa giusta da misurare è la birra che, essendo un fluido, necessita di modalità di misurazione completamente diverse da quelle del carciofo.
Darò in seguito una risposta più completa ai punti sollevati da Ernesto Levy nel suo commento del 24/04/2021. C'è però un tema, in particolare, che risaliva al suo post precedente e sul quale non avevo risposto: l'intuizionismo di Brouwer. Esistono interi libri dedicati all'argomento, ma non è mia intenzione scrivere papiri: sarò quindi conciso, lasciando al lettore gli approfondimenti.
Partiamo da qui:
Per Brouwer le serie numeriche non funzionano semplicemente con l'aggiunta di "+1"
Per nessun matematico le serie numeriche sono così banali: una "serie numerica" è un oggetto matematico alquanto complesso. Non è una questione di intuizionismo (Brouwer) o formalismo (Hilbert).
Approfondimenti: Per un'infarinatura generale, potete vedere YouMath e, per chi volesse approfondire (ma ciò esula dalla nostra discussione e non è necessario), cito un libro di Analisi I ("Analisi matematica 1", autori: Bramanti, Pagani, Salsa).
Per Brouwer le serie numeriche non funzionano semplicemente con l'aggiunta di "+1", da cui la problematicità della definizione di numero; similmente, non vale il principio del terzo escluso, per quanto valga quello di non contraddizione
In secondo luogo, Brouwer non critica la definizione di numero, critica invece le dimostrazioni non costruttive (è tutta una parola). Più precisamente, l'intuizionismo di Brouwer si distingue dalla logica classica per tre aspetti:
- principio del terzo escluso (nella logica intuizionista, non vale);
- doppia negazione (nella logica intuizionista, non vale che "doppia negazione afferma");
- le dimostrazioni non costruttive non sono considerate valide nella logica intuizionista.
Approfondimenti: Le dimostrazioni si dividono tra "costruttive" e "non costruttive". Non è proprio semplicissimo spiegare in poche parole tale differenza, ma possiamo fare questa metafora.
Dimostrazione costruttiva: Una dimostrazione si dice costruttiva se "costruisce" l'oggetto di cui si vuole dimostrare l'esistenza. Ad esempio, se io voglio dimostrare che "esiste un algoritmo in grado di trovare il minimo comune multiplo tra due numeri naturali", una dimostrazione costruttiva consiste nel "darvi il codice sorgente" di tale algoritmo. In altre parole, potete "toccarlo con mano".
Dimostrazioni non costruttive: Le dimostrazioni non costruttive operano invece in modo diverso: io non ti faccio vedere quest'algoritmo, non ti mostro il suo codice sorgente, ma riesco a dimostrarti che è impossibile che tale algoritmo non esista. Non puoi "toccarlo con mano". Le dimostrazioni non costruttive, quindi, lasciano un po' di amaro in bocca: sai che esiste, ma non sai com'è fatto. Ironicamente, il teorema del punto fisso di Brouwer fu dimostrato da Brouwer stesso in modo non costruttivo, cosa di cui poi lui stesso "si pentì". Per la gioia di Brouwer, quel teorema fu dimostrato (diversi anni dopo) in modo costruttivo.
Logica Intuizionista: Siccome in logica intuizionista non vale che "doppia negazione afferma", la frase "è impossibile che non esista" non è equivalente a "esiste". Allo stesso modo, "non è falso" non è equivalente a "è vero". Questa mancata equivalenza, che invece vale in logica classica, è il motivo per cui Brouwer si scagliò contro le dimostrazioni non costruttive, che tanto detestava.
Approfondimenti: Brouwer era il fondatore della logica intuizionista. Il "rivale" filosofico di Brouwer fu il matematico David Hilbert, la cui scuola di pensiero venne chiamata "formalismo" (nome un po' brutto, ma vabbè). Brouwer ed Hilbert ebbero una diatriba alquanto profonda, oggi nota come Brouwer-Hilbert controversy, la cui origine è proprio il Teorema della Base di Hilbert, la cui dimostrazione era (indovinate) non costruttiva. Non vado oltre: per un'infarinatura, vi rimando alla pagina Wikipedia, ma per approfondimenti seri (non necessari ai fini della discussione), vedi il libro Introduction to Metamathematics di S. Kleene.
Infine, Brouwer credeva che la logica classica, essendo basata sul principio del terzo escluso, potesse contenere delle inconsistenze logiche e che queste inconsistenze erano "mascherate" dalle dimostrazioni non costruttive, non potendo appunto "toccare con mano" l'oggetto della dimostrazione stessa. Le dimostrazioni costruttive non soffrono di tale "peccato mortale" proprio perché l'oggetto viene costruito e chiunque può quindi ispezionarlo e fare delle verifiche.
Ed è a questo punto che entra in gioco uno dei matematici più famosi del Novecento, che diede un'importante dimostrazione sul legame tra intuizionismo e logica classica: Gödel.
Intuizionismo vs Logica Classica: Gödel dimostrò, per dirlo in termini semplici, che "ciò che è vero nella logica classica non è falso nell'intuizionismo". Quel "non è falso" non è equivalente a "vero" per il solito discorso sulla "doppia negazione". In altri termini, Gödel dimostrò che se vi era un'inconsistenza nella logica classica, anche la logica intuizionista soffriva di tale inconsistenza.
Non è questa la fine della storia dell'intuizionismo. Questo risultato fu infine raffinato nella Logica Matematica moderna. Vediamo perché, ma prima una premessa storica.
Storicamente, esisteva una disciplina chiamata Meta-matematica (da cui anche il titolo del libro di Kleene), definita proprio come scritto su Wikipedia:
Metamathematics is the study of mathematics itself using mathematical methods
Di "metamatematica" si occupavano, quindi, i matematici stessi. Si parlava di "meta-teoremi", come pure di "meta-logica" (disciplina di cui si occupavano sempre i matematici, ma all'epoca considerata distinta dalla metamatematica), eccetera. Oggi, queste distinzioni sono sfumate e questa terminologia è caduta in disuso, anche se ogni tanto "meta-teorema" compare. Esiste e si studia, invece, una singola disciplina che possiamo considerarla come la "fusione" tra "metamatematica" e "metalogica". Questa disciplina si chiama Logica Matematica.
La logica intuizionista, proprio come la logica classica, è associata ad un'algebra.
Nota: Minimo di attenzione a non confondere algebra (branca della matematica, e.g., "cosa stai studiando?", "algebra, per l'esame") con algebra (oggetto matematico dotato di proprietà specifiche, la cui definizione non è elementare e non è qui riportata). Queste ultime rientrano nel più grande quadro delle strutture algebriche. Approfondimenti: Vedi Wikipedia.
Dal nostro punto di vista, è sufficiente questa metafora: se la logica è un'automobile, l'algebra associata a tale logica è l'insieme di tutti gli "impianti" (motore, centralina, cinghia di trasmissione, pedali, sterzo, freno a mano, ruote, albero, ecc…) dell'automobile, escluse le "cosmetics" (colore del telaio, rivestimenti in pelle, ecc…).
La logica classica corrisponde alla famosa Algebra di Boole (o algebra booleana). Anche la logica intuizionista ha un'algebra: questa prende il nome di Algebra di Heyting.
C'è qui un risultato importante: ogni algebra di Boole è un'algebra di Heyting (non vale il viceversa, ovviamente). Per farsi un'idea, è utile una prospettiva insiemistica: immaginate un insieme grande (chiamiamolo "A") e supponiamo rappresenti l'algebra di Heyting, ecco, dentro "A", immaginate un suo sottoinsieme più piccolo (chiamiamolo "B"), l'algebra di Boole è proprio B. Quindi: ogni affermazione vera in algebra booleana è vera anche nell'algebra di Heyting.
E questo è l'ultimo punto sulla logica intuizionista su cui volevo soffermarmi.
Ritorniamo a bomba, infine, sul tema principale: SCP-033. La mia affermazione è che SCP-033 è logicamente inconsistente.
Una doverosa precisazione: quando si usa l'aggettivo logicamente senza ulteriori specifiche, non si fa riferimento alla "logica di Tizio", alla "logica intuizionista", alla "logica nella testa del lettore" o di chicchessia, ma ad una logica ben specifica. Quando l'uomo della strada dice "è logico", tipicamente (ma non sempre) si riferisce a questa logica. Questa logica, sorpresa sorpresa, è l'algebra booleana (applicata in un contesto più grande, ma adesso non voglio perdermi in minuzie). Chi ha studiato Informatica, può averla sentita chiamare anche logica universale.
Per evitare ambiguità, possiamo riscrivere la mia affermazione:
QC: SCP-033 non è consistente con la logica universale
Qui entra in gioco un altro matematico: Peano. Facciamo un passo indietro, così da chiarire bene la questione.
SCP-033: SCP-033 è un numero naturale "mancante", di valore intermedio tra altri due numeri naturali (questa è l'affermazione dell'articolo). Vediamo da dove nasce l'inconsistenza, procedendo per gradi.
Definizione di numero naturale: Un numero si definisce naturale se appartiene all'insieme N.
Questa può sembrare una banalità, ma non lo è affatto. La struttura dell'insieme N è stabilita dagli Assiomi di Peano, che possiamo informalmente enunciare come segue:
- (P1) Esiste un numero naturale, 0 (zero)
- (P2) Ogni numero naturale ha un numero naturale successore
- (P3) Numeri diversi hanno successori diversi
- (P4) Zero non è il successore di alcun numero naturale
- (P5) Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali
L'unica precisazione che ci serve è il concetto di "successore". L'assioma P2 di Peano asserisce che: esiste una funzione S : N —> N chiamata "successore". Quindi, ad esempio, "1" è definito come S(0), in simboli: 1 := S(0), leggi: "1 è uguale per definizione alla funzione S applicata a 0". Poi, 2 := S(1), e così via (piccola nota: ho usato il simbolo ":=" perché su Wikidot non posso utilizzare altro, si legge "uguale per definizione", ed è tutta una parola).
Osservazione. 3 = S(2) (per definizione). Essendo 2=S(1), segue: 3 = S(2) = S( S(1) ). Essendo che 1 = S(0), segue infine: 3 = S(2) = S( S(1) ) = S( S( S(0) ) ). Ovvero:
3 = S(S(S(0))).
Osservate che la funzione "S", per il numero tre, compare tre volte (quando si riconduce tutto allo zero). Questa non è una coincidenza. La costruzione di Peano è matematicamente equivalente ad affermazioni come: "3 è il numero naturale definito come 2+1". Quindi, il fatto che partendo da zero ed aggiungendo sempre +S(0), ovvero +1 (in decimale), si ottengano tutti i numeri naturali è logica conseguenza degli assiomi di Peano.
I simboli utilizzati per descrivere tali numeri non contano nulla. Adesso vi rendo la vita un po' difficile. Se io avessi usato, come simboli, i seguenti:
2 = S(0)
4 = S(2)
6 = S(4)
e così via, secondo voi, l'insieme descritto è diverso da N? Sono solo i numeri pari? No, poiché:
2 = S(0) —> questo è "1" nella notazione ordinaria;
4 = S(S(0)) —> questo è "2" nella notazione ordinaria;
6 = S(S(S(0))) —> questo è "3" nella notazione ordinaria.
Altro esempio: A = S(0), B=S(S(0)), C=S(S(S(0))), allora: "C = B + A" è la stessa cosa di "3 = 2 +1".
Esempio. Altro ancora, ma più interessante: 1 = S(0), 10 = S(1), 11 = S(10), 100 = S(11), 101 = S(100), e così via. Cos'è? Semplicemente, è la rappresentazione binaria dei numeri naturali: 0, 1, 10, 11, 100, 101.
SCP-033 (again). L'inconsistenza logica di SCP-033 nasce dal fatto che non può esistere un numero naturale "mancante" situato tra due numeri naturali. Perché? Per costruzione, come discende dagli assiomi di Peano. Nella rappresentazione decimale che tutti conosciamo, ciò equivale a dire che "+1" è l'operatore di successione.
Ragioniamo per assurdo. Se supponessimo, per assurdo, che "4" fosse mancante, si verificherebbe la seguente situazione: la definizione di 5 sarebbe:
5 = S(3)
ovvero: 0, 1, 2, 3, 5, eccetera. Ora, come già affermato, i simboli utilizzati non contano nulla: vediamo se quel "5" è davvero chi dice di essere: 5 = S(3) = 3+1. Non funziona, chiaramente, è solo un simbolo diverso dalla notazione ordinaria, ma si comporta numericamente come il numero "4". Infatti: 5/2 = S(3)/2 = 3+1/2 = 2+2/2 = 2.
Questo accade anche nell'esempio che vi ho fatto con: 0, 2, 4, 6, …, dove si possono riscostruire tutti i comportamenti numerici a cui siamo abituati dalla rappresentazione decimale. Semplicemente, è più noioso, ma è una mera questione rappresentativa.
Infatti, vale un principio ancora più generale: prendete una sequenza qualsiasi di simboli. Fatele soddisfare gli assiomi di Peano (il che significa, all'atto pratico, stabilire come funziona l'addizione) e potrete ricostruire senza difficoltà l'insieme N. Nuovamente, sarà molto più tedioso andare a capire che "1 = 2 + 7" (in questa rappresentazione strampalata) magari significa "3 = 2 +1" (in decimale), ma pazienza.
Conclusione. SCP-033 è basato sull'esistenza di un numero naturale "mancante", ma ciò non è compatibile con gli assiomi di Peano e le loro logiche conseguenze. La rappresentazione decimale, che non è "più valida" della rappresentazione binario o di quella esadecimale, ma indubbiamente è più comoda da un punto di vista pratico, non ha alcun numero naturale mancante. Ciò non è merito suo, ma logica conseguenza degli assiomi di Peano.
A valle della discussione su Discord avvenuta il 01/05/2021, ho osservato che uno dei temi focali è proprio quello di "leggi matematiche", su cui ritengo opportuno fare chiarezza una volta per tutte.
Storicamente, in ambito matematico, è sotto gli occhi di tutti il fatto che vi siano alcune entità teoriche chiamati "leggi", ad esempio:
e molti altri casi. Ma cosa sono, a rigore, questi oggetti teorici chiamati leggi? La matematica è forse un tribunale?
Ebbene, non è l'unico caso di nomenclatura derivante da tradizioni storiche. Il caso più emblematico è il nome lemma, usato in casi come il Lemma di Fatou, semplicemente come sostituto di teorema, ma con un'accezione di essere "più piccolo" (nel senso di più circoscritto) di un "teorema", parola riservata, per motivi storici, a risultati "più grandi" e/o ritenuti più importanti da chi scriveva.
Per quest'ultimo punto, la storia ha poi preso pieghe inattese, per cui un risultato ritenuto tutto sommato "minore" da un matematico, e quindi chiamato lemma, si è poi invece rivelato essere altrettanto importante o perfino più importante del previsto. Così, sono nate nomenclature ancora più curiose (soprattutto in italiano), come Lemma Fondamentale di Neyman-Pearson, l'aggettivo "fondamentale" usato per sottolinearne l'importanza (nonostante fosse un "lemma").
Tali nomenclature sono però più legate alla tradizione di lingua italiana: può confermare chiunque che si parla, in inglese, di Neyman-Pearson lemma, senza nessun "fundamental" integrato nel nome.
Concludiamo quindi con quest'affermazione: in ambito matematico, le parole "lemma", "lemma fondamentale", "law" (legge) sono nomenclatura derivante da motivi storici. Ma significano tutte la stessa cosa: teorema. Infine, anche quando si parla di proprietà di un oggetto matematico, è in realtà sempre un teorema.
Cos'è, allora, un teorema? Usiamo dapprima una semplice affermazione intuitiva, senza alcuna pretesa di rigore, che ho preso da Wikipedia quasi parola-per-parola:
a theorem is a statement that has been proven to be true, either on the basis of generally accepted statements such as axioms or on the basis of previously established statements such as other theorems.
Adesso, entriamo più nel merito e, nel farlo, chiariremo anche cosa sono queste famigerate "leggi" matematiche.
In matematica, gli oggetti fondamentali sono i seguenti:
- Nozioni primitive e definizioni formali;
- Assiomi e teoremi;
- Oggetti matematici propri (e/o utili a fini rappresentativi): simboli matematici, stringhe, disegni, ecc…
Nozioni primitive (anche chiamato concetto primitivo): Si intende un concetto privo di definizione formale (è tutta una parola). Ne sono alcuni esempi: "punto" (point), "insieme" (set). Ciò viene usato spesso nel caso di concetti particolarmente intuitivi e semplici.
Definizioni formali: Si intendono concetti, tipicamente espressi a parole, che dipendono esclusivamente da nozioni primitive, oppure da altre definizioni formali (ma senza circolarità).
Da ora in poi, utilizzerò esclusivamente "definizione" al posto di "definizione formale", com'è prassi.
Un esempio simpatico di cose non accettate come definizioni è questo:
ricorsione: vedi ricorsione
come pure non è accettato utilizzare l'oggetto B nella definizione di A, per poi utilizzare A nella definizione di B. Esempio stupido:
Definizione di simplesso: Un simplicio.
Definizione di simplicio: Un simplesso.
Assiomi: Enunciati assunti veri senza dimostrazione. Si dice infatti "è assiomaticamente vero". Gli assiomi servono come punto di partenza per un ragionamento formale (è tutta una parola).
Teoremi: Well-formed formulas (diremo dopo cosa sono) che sono dimostrate vere a patto di verificarne le ipotesi.
Insieme. Un insieme si può denotare elencando tutti i suoi elementi racchiusi da parentesi graffe e separati da virgola (o da un segno separatore a piacere, ma tipicamente si usa la virgola). Questa è chiamata rappresentazione tabellare di un insieme. Facciamo alcuni esempi:
- {testa, croce} è un insieme contenente due elementi: "testa", "croce";
- {1, a, b} è un insieme contenente tre elementi: "1", "a", "b".
- {} è uno dei modi di scrivere l'insieme vuoto.
Negli insiemi, l'ordine degli elementi è irrilevante. L'insieme A = {1,2} e l'insieme B = {2,1} non sono insiemi diversi, anzi A = B.
Sequenza. Una sequenza si può denotare con parentesi tonde ed elementi separati da virgola (o da un segno separatore a piacere, ma tipicamente si usa la virgola). Nelle sequenze, l'ordine degli elementi è importante. Facciamo alcuni esempi:
- (0) è una sequenza che contiene un solo elemento: "0";
- (1,0) è una sequenza che contiene due elementi: "1" e "0";
- (5, 0.5, 7) è una sequenza che contiene tre elementi: "5", "0.5", "7";
Questa è una parte molto delicata del discorso, ma purtroppo terribilmente noiosa, anche se non è di difficile comprensione.
Sia S un insieme di simboli, che contenga almeno tutti i simboli utilizzati dalla razza umana. Si noti che S può essere anche infinito.
Sia A, chiamato alfabeto, un sotto-insieme finito di S, contenente almeno due elementi. Esempio: A = {a, 3} è un alfabeto contenente due simboli: "a" e "3". Invece, "A = {a}" non è un alfabeto, perché contiene un solo simbolo.
Sia A-1 (Wikidot non mi consente una notazione migliore) un sotto-insieme dell'alfabeto A contenente almeno un simbolo, i cui elementi chiameremo caratteri elementari. Sia, infine, A-2 l'insieme complementare (vedi Wikipedia) di A-1 rispetto ad A; gli elementi di A-2 sono chiamati caratteri speciali.
Esempio. Consideriamo A={1, 2, 3, a, b, c}. Se, ad esempio, scegliamo A-1={1, a}, allora A-2={2, 3, b, c}. Se invece avessimo scelto A-1={1, 2, 3}, allora sarebbe stato A-2={a, b, c}.
Nota. Gli insiemi A ed A-1 sono essenzialmente "scelti a piacere", mentre A-2 è fissato una volta fatta tale scelta. Per motivi di tradizione storica, tipicamente si identificano i caratteri elementari come: tutte le lettere, tutti i numeri. I caratteri speciali sono invece i simboli come "=", "<", ">", ed in generale gli operatori matematici.
Stringa. Una stringa è una sequenza finita di simboli presi da un alfabeto. Si noti che la parola sequenza, in matematica, denota che l'ordine è importante, quindi "AB" è diverso da "BA".
Stringhe elementari/speciali/composte. Una stringa si dice elementare se contiene solo caratteri elementari (quelli presi da A-1). Una stringa si dice speciale se contiene solo caratteri speciali (quelli presi da A-2). Se una stringa contiene invece sia caratteri elementari che speciali, si dice composta.
Esempio. Consideriamo A={1,2,3, a,b,c,s, =, #} come alfabeto e sia A-1={1,2,3,a,b,c,s} (A-2 è di conseguenza).
- "1a" è una stringa elementare di due simboli;
- "casa" è una stringa elementare;
- "#=#" è una stringa speciale;
- "a=b" è una stringa composta;
- "" è uno dei modi usati per indicare la stringa vuota.
Well-formed formulas (w.f.f.). Indichiamo con S(A) l'insieme di tutte le stringhe possibili usando A come alfabeto. Sia F un sotto-insieme non-vuoto di S(A), che chiameremo formulario ed i suoi elementi sono chiamati well-formed formulas (w.f.f.), anche chiamate "formule" (termine un po' brutto, che genera confusione con il concetto usuale di "formula", quindi qui lo eviterò). Non approfondisco, in questa fase, di come e del perché questo insieme viene scelto, ma essenzialmente si tratta di stabilire una sintassi formale.
Stato. La cosa importante è che, ad ogni w.f.f., è associato uno "stato". Nuovamente, non approfondisco più del necessario: l'importante è sapere che questo "stato" è una sequenza di numeri e che tutti questi numeri sono compresi nell'intervallo [0,1]. Informalmente e semplicisticamente, possiamo pensare che questi numeri siano il "grado di verità" della w.f.f., anche se è impreciso rende un po' l'idea. Se F è una w.f.f., "state(F)=0" significa che F è falsa, "state(F)=1" significa che è vera, ma già "state(F)=0.5" non è di immediata comprensione, e lo è ancora meno "state(F) = (0,1)", come pure "state(F)= (0.45, 0.7)".
Proposition. Una w.f.f. che ha, come stato, una variabile booleana.
Variabile booleana. Una variabile che può avere solo uno di due valori distinti. Insomma, il bit.
In altre parole, tutta questa costruzione porta a questo:
Una proposizione è una stringa che può essere solo vera o falsa
Quindi, se P indica una proposizione qualunque, esistono solo due alternative, mutuamente esclusive:
state(P) = 0, tradotto in italiano: "P è falsa"
state(P) = 1, tradotto in italiano: "P è vera"
Come abbiamo visto, quindi, in Logica Matematica, non si esclude a priori la possibilità che esistano stringhe che non sono né vere né false. Allo stesso modo, riprendendo una frase di Ernesto Levy:
Che una cosa sia e non sia insieme
nemmeno questo è escluso a priori, anzi in meccanica quantistica il fenomeno di "superposition" assomiglia (pur essendo diverso) proprio ad affermazioni simili, non sull'esistenza, bensì sull'avere una specifica proprietà, come ad esempio "avere spin UP" vs. "avere spin DOWN". Ma qui ci sono troppi "asterischi" e dettagli fini, quindi evito di dilungarmi.
Tornando a noi, quello che abbiamo fatto è semplicemente una classificazione delle stringhe, per arrivare alle proposizioni.
Gli assiomi sono proposizioni per definizione, essendo che, se A è un assioma, allora: "state(A)=1" (assiomaticamente, appunto). I teoremi (finalmente ci siamo arrivati!) sono w.f.f. tali che, se le ipotesi sono vere, allora lo è anche la tesi. In altre parole, un teorema stabilisce una implicazione, un legame, tra ipotesi e tesi. Le caratteristiche di tale legame, però, a cominciare dal fatto che tale legame esista, deve essere dimostrato.
Dimostrazioni. La dimostrazione non è una cosa arbitraria, ovviamente: "perché Tizio si è svegliato così questa mattina" non è una dimostrazione. Perdonate l'ovvietà, ma andava sottolineato che una dimostrazione deve rispettare dei criteri ben precisi. Questi criteri sono ben noti in Logica Matematica ed anche altrove, quindi non starò a ribadirli, cercate "regole di inferenza" se volete approfondire, vi segnalo solo questo: Wikipedia.
Il "motore" che regola il funzionamento delle proposizioni, come esse si colleghino tra loro, eccetera, è (sorpresa sorpresa) l'algebra booleana.
Facciamo solo un singolo esempio, che ritengo particolarmente significativo.
Il principio di non-contraddizione, etimologicamente inquadrabile come "principio" (un qualcosa che sta alla fonte), è un teorema dell'algebra booleana. Se è un teorema, significa che esiste una sua dimostrazione. Innanzitutto, diamo l'enunciato del teorema di non-contraddizione, scrivendolo in linguaggio formale:
p + NOT(p) = 1
e chiariamo cosa significhino quei simboli:
- "p" è lo stato della proposizione P, ovvero: "p = state(P)", quindi è una variabile booleana;
- NOT è l'operatore booleano NOT (vedi Wikipedia se non sai come funziona, è semplicissimo);
- quel + non è l'addizione, ma è l'operatore booleano OR (nuovamente, vedi Wikipedia se non sai come funziona, è semplicissimo).
Quello è l'enunciato, adesso dobbiamo dimostrarlo. Per dimostrarlo, è sufficiente utilizzare la tabella di verità, che non starò qui a riportarvi perché è banale e la trovate cercando in giro. Quello che ci interessa è quanto segue: la dimostrazione del "principio" (teorema) di non-contraddizione utilizza esclusivamente le seguenti cose:
- le definizioni di proposizione, variabile booleana, operatore booleano, insomma le solite definizioni dell'algebra booleana;
- i numeri 0 ed 1, oppure in modo equivalente si possono usare i simboli "F" (falso) e "V" (vero) o anche altri (tipo "T" per indicare vero, dall'inglese true). Va bene anche se utilizzate bianco/nero, non conta. I matematici e soprattutto gli informatici, per comodità, utilizzano 0 ed 1;
- le definizioni degli operatori NOT ed OR, con tutte le loro proprietà (teoremi);
- le regole d'interferenza, che in ultima analisi si riducono all'implicazione logica con tutte le sue proprietà (teoremi).
Stop.
Piccola nota. Implicitamente, quando facciamo uso di definizioni (rispettivamente, proprietà) facciamo uso di nozioni primitive (rispettivamente, assiomi), a cui tutto si può sempre ricondurre. Questo è uno dei motivi per cui si parla di sistema assiomatico-deduttivo.
Facciamo ora un salto di qualità. Consideriamo sempre il "principio" di non-contraddizione:
[1] p + NOT(p) = 1
ma questa volta chiediamoci se vale non solo per le proposizioni, ma anche per delle w.f.f. che abbiano una proprietà particolare: il loro stato è un singolo numero reale (sempre compreso tra [0,1]). Chiamiamo, per capirci, queste w.f.f. con il nome di r-proposizioni (inventato sul momento). Ora, quindi, "p" è un numero reale in [0,1]
Notate che non ho utilizzato il blue, questa non è una dimenticanza, ma una scelta precisa: quel "NOT" non è blue perché non è il NOT, idem per il "+". Vediamo chi sono:
- "+" è l'addizione, a cui tutti siamo abituati;
- l'operatore NOT (da non confondere con la sua controparte booleana) è definito come segue:
NOT(p) = 1 - p.
E vi faccio notare che, nel caso in cui "p" sia una variabile booleana, NOT e NOT coincidono. In poche parole, questo NOT è una estensione (o generalizzazione) del NOT booleano.
La dimostrazione è banale:
p + NOT(p) = p + (1 - p) = 1
In breve: il teorema di non-contraddizione vale anche per le w.f.f. che abbiano un singolo numero reale in [0,1] come stato. Questa è la versione "generalizzata" (perché non si limita alle sole variabili booleane) del teorema di non-contraddizione dell'algebra booleana. Questo è quello che, ogni tanto, viene chiamato il teorema di non-contraddizione "in logica universale", dove quel "universale" indica che non siamo più vincolati alle sole variabili booleane.
Queste "r-proposizioni" possono essere interpretate, in un altro contesto, come affermazioni probabilistiche. Se utilizziamo questa interpretazione (che, ribadisco, è solo un'interpretazione), allora quell'affermazione corrisponde proprio ad un teorema ben noto della Teoria della Probabilità:
P(A) + P(Ac) = 1
ovvero: la probabilità din un evento, A, più la probabilità dell'evento complementare, Ac, è pari ad uno. L'evento complementare sarebbe il corrispondente del caro e vecchio NOT booleano, ma esteso in [0,1], quindi non vi stupirà leggere che:
P(Ac) = 1 - P(A)
e tutto torna. La cosa curiosa è che la Teoria della Probabilità è fondata su assiomi diversi, ovvero sugli assiomi di Kolmogorov. Nonostante ciò, si perviene sempre allo stesso risultato (il principio di non-contraddizione), anche se scritto in modi diversi.
Questo è quello che si intende quando si parla di logica universale. Non è un nome tecnico, è semplicemente un modo per indicare un fatto. Cos'è, in breve? È un'estensione dell'algebra booleana, cioè cade il discorso di limitarsi ad analizzare proposizioni. Quindi, tutti gli operatori sono ridefiniti per tener conto che il loro input non è, banalmente, una variabile booleana. Di fatto, è un'altra algebra, più grande (l'algebra booleana è un suo sotto-insieme).
Quest'algebra si può battezzare algebra universale (logica universale = estensione della logica binaria, algebra universale = estensione dell'algebra booleana). L'importante non è il nome. Il concetto importante è che questa "algebra universale" è la stessa algebra della Teoria della Probabilità (che sia una coincidenza o meno, adesso non ci interessa).
Teorema di Cox. Esistono infiniti modi di estendere l'algebra booleana alle variabili in [0,1]. Ma il matematico Cox, con il suo teorema, ha dimostrato che l'algebra della Teoria della Probabilità è l'unico modo non-contraddittorio di estendere l'algebra booleana all'intervallo [0,1]. Qualunque altra scelta vi darà un'algebra che viola il principio di non-contraddizione (quello enunciato in [1]).
Una pietra tombale per la logica intuizionista: la doppia negazione. Enunciamola in linguaggio formale:
NOT( NOT(p) ) = p
Piccola parentesi: questo è un teorema dell'algebra booleana se lo scrivete con il NOT (NOT booleano) anziché con il NOT (NOT probabilistico). Dimostriamolo:
NOT( NOT(p) ) = NOT(1 - p) = 1 - (1-p)
e "1 - (1-p)" fa "p". Fine.
Dopo questa carrellata, rispondo infine a questo:
"Non esistono leggi matematiche" può implicare una gran quantità di cose, sta a te specificare quello che intendi.
L'affermazione "le leggi matematiche non esistono" va quindi interpretata in un modo molto semplice: "leggi matematiche" è un misnomer. Non esistono leggi matematiche perché la matematica non è un tribunale. Quello che esiste, invece, sono i teoremi, alcuni dei quali, per motivi puramente storici, chiamati laws ("leggi", ma a volte tradotto anche come "regole"). Abbiamo già spiegato cosa sono i teoremi e qual è il loro legame con: assiomi, definizioni, nozioni primitive, proposizioni e well-formed formulas (w.f.f.). E, per me, ciò chiarisce e chiude definitivamente il discorso sulle "leggi matematiche".
C'è una constatazione "ovvia" da fare, arrivati a questo punto, ovvero riformulare:
le leggi della matematica sono identiche in tutti gli universi possibili
che non significa molto perché "leggi della matematica" abbiamo già detto che è un misnomer, nella frase seguente:
i teoremi della matematica sono identici in tutti gli universi possibili
che invece ha senso, in quanto si parla di teoremi. Beh, innanzitutto, il fatto che siano identici, in realtà, ci interessa poco: quello che ci interessa è se continuino ad essere validi. Quindi, riformuliamo ancora:
[F-1] I teoremi della matematica sono validi in tutti gli universi possibili
Questa è un'affermazione che io condivido pienamente: non pretendo di avere una prova inequivocabile (che è eccessivo, tanto per cominciare), ma certamente posso fornire un'argomentazione. Starà poi al lettore giudicare.
Prendiamo un teorema che abbiamo già enunciato:
[1] p + NOT(p) = 1
Vi faccio ora riflettere su una cosa: un teorema ha ipotesi e tesi. Cos'è [1], ipotesi o tesi? Ebbene, [1] è la tesi del teorema. E le ipotesi? Sono implicite (cioè non le ho scritte). E sono parecchie. Ne elenco solo qualcuna:
- che il simbolo "p" indichi lo stato di una well-formed formula;
- la definizione di well-formed formula (senza quale si perde il punto precedente);
- la definizione di stringa (richiesta per definire well-formed formula);
- la definizione di alfabeto (richiesta per definire stringa);
- la definizione di "+" e le sue proprietà;
- la definizione di "=" e le sue proprietà;
- la definizione di NOT e le sue proprietà;
- ecc…
fino a "risalire" ad assiomi e nozioni primitive, dalle quali tutto discende.
Mettiamoci ora in un reame metafisico alternativo, fatto chissà come. Ebbene, anche in questo reame metafisico alternativo abbiamo forti motivazioni per giustificare [F-1].
Affinché il teorema la cui tesi è [1] sia vero, tutte le sue ipotesi devono essere vere. Quindi, nel reame metafisico alternativo, devono verificarsi queste condizioni:
- la definizione di stringa nel reame metafisico alternativo deve coincidere con la nostra (altrimenti non va bene);
- tutte le definizioni devono essere le stesse (altrimenti non va bene);
- gli assiomi devono essere gli stessi;
- le nozioni primitive;
- insomma, tutto.
Eh, ma, vista così, praticamente abbiamo ricreato una "bolla" del nostro mondo dentro quest'altro reame metafisico alternativo. Dato che perfino la logica da usare per verificare il teorema dev'essere la stessa (altrimenti non va bene e violeremmo le ipotesi sulle regole d'inferenza), è come dire che abbiamo preso un pezzo del nostro universo e l'abbiamo ricreato lì. Insomma, all'atto pratico, abbiamo cambiato poco (anzi, nulla). Non stiamo usando niente di questo reame metafisico alternativo: non la sua logica, non le sue definizioni, niente.
I teoremi matematici sono precisi e rigorosi: non affermano di funzionare secondo altre regole d'inferenza, altre definizioni, altri assiomi. Ma secondo quelle scritte nelle ipotesi. In altre parole, è un po' come dire: "Se un meta-alieno di un reame metafisico alternativo fosse sufficientemente intelligente da capire la logica matematica umana, con tutte le sue definizioni/nozioni-primitive/assiomi, eccetera, allora considererebbe internamente consistenti tali teoremi". Questa è una metafora, ovviamente, non è da prendere alla lettera.
Quest'argomentazione non è una "prova inequivocabile" (qualunque cosa significhi), ma è certamente un'argomentazione a favore di [F-1].
Si può fare di meglio in un sistema assiomatico-deduttivo? Sì, basta "assiomatizzare" il fatto che "vero" significhi "vero in assoluto" (in tutti i reami, metafisici, ipermetafisici, universi paralleli, perpendicolari, obliqui, o quello che vi pare). È chiaro che è un assioma: non c'è dimostrazione. Ma da tale assioma discende che [F-1] è vera (in assoluto). Se accettare o meno a tale assioma, ovviamente, è una scelta individuale: non siete costretti a farlo.
Non c'è nessuno a puntarvi con dei fucili costringendovi a firmare un patto di sangue dove lo accettate. Allo stesso modo, nessuno vi costringe ad accettare uno qualunque degli assiomi presenti in Logica Matematica, come pure nessuno vi costringe ad accettare che 2+2 faccia 4 nel nostro universo.
